У шкільному курсі математики 5 класу ви часто зустрічаєте дію піднесення числа до степеня. Серед усіх степенів найчастіше використовують саме другий, який має власну просту назву — квадрат числа. Розуміння того, яке число називають квадратом натурального числа, допомагає швидко розв’язувати рівняння, спрощувати вирази та знаходити площі геометричних фігур.
Що таке квадрат натурального числа: просте означення
Квадратом натурального числа a називають результат множення цього числа самого на себе, тобто добуток a · a. У математиці такий запис скорочують як a² і читають як «а у квадраті» або «а в другому степені». Маленька цифра 2 праворуч угорі якраз і показує, що число множиться саме на себе два рази.
Нагадаємо, що натуральні числа — це ті числа, які ми використовуємо для лічби окремих предметів: 1, 2, 3, 4, 5 і так далі до нескінченності. За шкільною програмою України число 0, від’ємні значення та дроби не належать до натуральних чисел. Відповідно, коли ми говоримо про квадрат натурального числа, ми розглядаємо лише результати множення цілих додатних чисел від одиниці.
Погляньмо на наочні приклади. Якщо ми візьмемо число 3 і помножимо його на себе, отримаємо вираз 3² = 3 · 3 = 9. Це означає, що число 9 є квадратом числа 3. Так само для числа 7 маємо 7² = 7 · 7 = 49, тому число 49 є квадратом числа 7. Будь-яке натуральне число, яке можна отримати в результаті такого множення, у математиці називають повним або точним квадратом.
Таблиця квадратів натуральних чисел від 1 до 20
Знання значень перших двадцяти квадратів значно прискорює виконання домашніх завдань та усних вправ. Завдяки цій базовій таблиці вам не доведеться щоразу множити двоцифрові числа у стовпчик.
| Число (a) | Математичний вираз (a · a = a²) | Квадрат числа |
|---|---|---|
| 1 | 1 · 1 = 1² | 1 |
| 2 | 2 · 2 = 2² | 4 |
| 3 | 3 · 3 = 3² | 9 |
| 4 | 4 · 4 = 4² | 16 |
| 5 | 5 · 5 = 5² | 25 |
| 6 | 6 · 6 = 6² | 36 |
| 7 | 7 · 7 = 7² | 49 |
| 8 | 8 · 8 = 8² | 64 |
| 9 | 9 · 9 = 9² | 81 |
| 10 | 10 · 10 = 10² | 100 |
| 11 | 11 · 11 = 11² | 121 |
| 12 | 12 · 12 = 12² | 144 |
| 13 | 13 · 13 = 13² | 169 |
| 14 | 14 · 14 = 14² | 196 |
| 15 | 15 · 15 = 15² | 225 |
| 16 | 16 · 16 = 16² | 256 |
| 17 | 17 · 17 = 17² | 289 |
| 18 | 18 · 18 = 18² | 324 |
| 19 | 19 · 19 = 19² | 361 |
| 20 | 20 · 20 = 20² | 400 |
Для швидкого запам’ятовування зверніть увагу на симетрію останніх цифр у результатах. Наприклад, квадрати чисел 13 (169) та 14 (196) складаються з однакових цифр, але дві останні з них поміняні місцями.
Як перевірити, чи є задане число повним квадратом
Коли перед вами стоїть завдання з’ясувати, чи є певне число точним квадратом, не обов’язково перебирати всі можливі варіанти поспіль. Для цього існує зручна покрокова послідовність дій, яка економить час під час контрольних робіт.
- Оцінка меж числа через найближчі круглі значення, наприклад, порівняння із 10² = 100 або 20² = 400.
- Перевірка останньої цифри числа, щоб переконатися, чи може результат множення взагалі закінчуватися таким знаком.
- Підбір натурального множника за допомогою таблиці множення або множення стовпчиком у знайденому числовому діапазоні.
- Розклад на однакові пари простих множників, якщо число досить велике для швидкого усного підбору.
Якщо після застосування цих кроків вдалося знайти таке натуральне число, яке при множенні саме на себе дає початкове значення, перед вами повний квадрат. Якщо ж такого цілого числа знайти не вдається, задане число квадратом натурального не є.
Швидка ознака: числа, які ніколи не бувають квадратами
Якщо уважно подивитися на останню цифру квадратів першого десятка (1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100), стає помітна чітка закономірність. Будь-який квадрат натурального числа обов’язково закінчується лише на цифри 0, 1, 4, 5, 6 або 9. Жодних інших варіантів у кінці точного квадрата бути не може за самою природою множення.
Число не може бути квадратом натурального числа, якщо його останній знак — це 2, 3, 7 або 8, або якщо воно закінчується на непарну кількість нулів (наприклад, 10 чи 1000).
Це правило дозволяє миттєво відкидати неправильні варіанти у тестах без жодних додаткових підрахунків. Наприклад, числа 27, 43, 78 та 152 гарантовано не є повними квадратами просто тому, що вони закінчуються цифрами 7, 3, 8 і 2.
Розбір типових шкільних і тестових завдань
Розгляньмо класичне тестове завдання, яке часто зустрічається у програмі 5 класу: «Яке число серед поданих є квадратом натурального числа: 8, 16, 17 чи 27?». Для правильної відповіді проаналізуємо кожен варіант окремо.
Число 8 не підходить, оскільки 2 · 2 = 4, а 3 · 3 = 9, і між ними немає іншого цілого натурального числа (число 8 є кубом, тобто 2³). Число 16 є правильною відповіддю, адже 4 · 4 = 16, тобто 16 = 4². Числа 17 та 27 також не є квадратами: 17 розташоване між повними квадратами 16 і 25, а 27 закінчується цифрою 7 і являє собою куб числа 3 (3³ = 27).
Для самостійного тренування спробуйте перевірити числа 64 та 50. Число 64 є точним квадратом, оскільки 8 · 8 = 64, тоді як число 50 квадратом не є, бо воно лежить між 7² = 49 та 8² = 64.